תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד קיץ תש"ע מועד ב', מיום 14/7/2010 שאלון: 316, 035806 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 E נתון: 1 רוכב אופניים רכב מעיר A לעיר B 2 במסלול שבין הערים יש תחילה עלייה ואז ירידה A 3 מהירות הרוכב בירידה היא קבועה, וגדולה ב- 10 קמ"ש ממהירותו בעלייה B 4 הרוכב עבר את הדרך מ- ב- 45 שעות ואת הדרך מ- עבר ב- 6 שעות 5 6 מהירות הרוכב בעלייה שבדרך מ- שווה למהירות הרוכב בעלייה שבדרך מ-, וגם מהירות הרוכב בכל אחת מהדרכים היא אותה מהירות 7 אורך המסלול בין שתי הערים הוא 70 קמ"ש סימון: x מהירות הרוכב בקמ"ש מ- מהירות הרוכב בקמ"ש מ- y הדרך שעשה הרוכב בק"מ מ- הדרך שעשה הרוכב בק"מ מ- בעלייה בירידה + נתון 3 בירידה בעלייה לפי סרטוט הקטע + AE נתון 7 בניית טבלה: עלייה זמן )שעות( מהירות )קמ"ש( דרך )ק"מ( ירידה עלייה ירידה 1
בניית משוואות: א I לפי נתון 4: הרוכב עבר את הדרך מ- ב- 45 שעות, ולכן נחבר את שני הזמנים שבמסלול ונשווה ל- 45 II לפי נתון 5: הרוכב עבר את הדרך מ- ב- 6 שעות, ולכן נחבר את שני הזמנים שבמסלול ב- 6 שעות, ולכן נחבר את שני הזמנים שבמסלול ונשווה ל- 6 נפסל או מהירות הרוכב בעלייה היא 10 קמ"ש ב נציב במשוואה מספר :II מ מ הדרך שעבר הרוכב במסלול מ- הוא 50 ק"מ 2
שאלה מספר 2 נתון: 1 ו- הם שני איברים בסדרה חשבונית במקום ה- n ובמקום ה- k בהתאמה 2 הפרש הסדרה הוא d, והאיבר הראשון בסדרה הוא 3 m מספר טבעי, : א )1( נראה כי מתקיים ) ( לפי נתון 1 נבטא את שני האיברים ו- טבעי, נשתמש בנוסחת האיבר הכללי: נציב : )2( נסמן את האיבר ונבטא את T באמצעות k n, ו- m: ידוע כי המקום T שווה לסכום שני האיברים ולכן: ו- ב )1( נביע באמצעות, d ו- m את הסכום : 3
באמצעות d: )2( עוד נתון: 4 בעזרת נתון 4 נביע את סכום 79 האיברים הראשונים בסדרה הוא 7,900 נציב : 4
שאלה מספר 3 נתון: 1 ברשותינו שתי קוביות משחק הנראות זהות קוביה אחת מאוזנת והאחרת לא מאוזנת 2 ההסברות לקבל אחד מהמספרים בהטלת הקובייה המאוזנת הרשומים על פאות הקובייה היא אותה הסתברות עבור כל אחד מהמספרים 3 ההסתברות לקבל את המספר 6 בהטלת הקובייה הלא מאוזנת היא א )1( נשתמש בנוסחת ברנולי כדי לחשב את ההסתברות למציאת בדיוק 2 פעמים את המספר 6 בקובייה המאוזנת + נתון 2 ( * ( * ( * )2( נחשב את ההסתברות לקבל בדיוק 2 פעמים את המספר 6 בהטלת הקובייה הלא מאוזנת שוב נעזר בנוסחת ברנולי + נתון 3: ( * ( * ( * ב נתון נוסף: 4 בוחרים באקראי אחת משתי הקוביות וזורקים 3 פעמים את הקובייה שבוחרים נבנה דיאגרמת עץ להמחשת התרגיל, לפי נתון 4 ההסתברות לבחור קובייה אחת מבין שתי הקוביות היא + סעיף א' )1( קובייה מאוזנת קובייה לא מאוזנת מאוזן בדיוק 2 מספר 6 לא מאוזן מאוזן לא מאוזן בדיוק 2 מספר 6 (בדיוק מספר שש) (בדיוק מספר שש) 5
)2( בסעיף זה נשתמש בהסתברות מותנית התנאי: ידוע כי המספר 6 התקבל בדיוק 2 פעמים צ"ל: ההסתברות שנבחרה הקובייה הלא מאוזנת (נבחרה קובייה לא מאוזנת) ) התקבל בדיוק פעמים) ) התקבל בדיוק פעמים נבחרה קובייה לא מאוזנת) נמצא את ההסתברות שנבחרה קובייה לא מאוזנת )ניתן להיעזר בדיאגרמת שמופיע בסעיף הקודם(: (נבחרה קובייה לא מאוזנת) לפי סעיף ב( ( ) התקבל בדיוק פעמים) ) התקבל בדיוק פעמים נבחרה קובייה לא מאוזנת) ג זורקים n פעמים את הקובייה הלא מאוזנת נחשב את ההסתברות למאורע המשלים ולכן ( * ( * נציב ) ), ונחשב את המאורע המשלים: (( * ( * ) (( * ) ( * ההסתברות המבוקשת היא ) ( 6
שאלה מספר 4 נתון: 1 ABCD טרפז שווה שוקיים 2 3 4 5 צ"ל: א ב ג טענה ABCD טרפז שווה שוקיים מש"ל א' מש"ל ב' נימוק )נתון 1( )נתון 4( זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים )טענות 1 ו- 2 ( )נתון 3( )נתון 5( זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים )טענות 4 ו- 5 ( לפי משפט דמיון זז )טענות 3 ו- 6 ( )נתון 2( )נתון 2( סכום זוויות במשולש AMD הוא 081 הצבה + חישוב )טענות 2,9 ו- 10( זווית חיצונית למשולש MFD שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה הצבה + חישוב )טענות 6,11 ו- 12 ( חיבור זוויות הצבה )טענה 14, נתונים 4 ו- 5 ( זוויות הבסיס בטרפז שווה שוקיים שוות זו לזו )טענה 15, נתון 1( חיסור זוויות הצבה )טענות 9 ו- 16 ( כלל המעבר )טענות 13 ו- 18( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 7
משפט חוצה זווית במשולש FDC )טענה 19( בטרפז שווה שוקיים, השוקיים שוות זו לזו )נתון 1( הצבה )טענות 20 ו- 21 ( פרופורציה הנובעת מדמיון משולשים ABC ו- FDA )טענה )7 כלל המעבר )טענות 22 ו- 23 ( 20 21 22 23 24 מש"ל ג' 8
שאלה מספר 5 נתון: )1( שני משיקים שיש להם את אותו רדיוס R )2( משיקים בנקודה M )3( מעבירים מיתר DM במעגל שמרכזו )4( מעבירים מיתר MA במעגל שמרכזו )5( צ"ל: א) 1 ( נמק מדוע )2( הוכח כי ב עוד נתון: )6( במשולש AMB העבירו תיכון לצלע AB צ"ל: הבע באמצעות R את אורך התיכון נמק מעגל טענה ומעגל משיקים בנקודה M מאונך למשיק בנקודה M מאונך למשיק בנקודה M קטע מרכזיים של המעגלים הוא ו- נימוק )נתון 2( משיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה )טענה 1( משיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה )טענה 1( נקודת ההשקה של שני מעגלים המשיקים זה לזה מבחוץ נמצאת על קטע המרכזיים של המעגלים זווית שטוחה שווה ל- 180 )טענה 4( )נתון 1( רדיוסים שווים במעגל שמרכזו אם במשולש זוג צלעות סמוכות שוות, אז הוא משולש שווה שוקיים )טענה 7( סימון מש"ל א' )1( משולש שווה שוקיים במשולש שווה שוקיים, זוויות הבסיס שוות )טענות 8 ו- 9 ( סכום זוויות במשולש הוא 081 הצבה )טענות 10 ו- 11 ( )נתון 5( זווית שטוחה שווה ל- 081 הצבה )טענות 10,13 ו- 14 ( רדיוסים שווים במעגל אם במשולש זוג צלעות סמוכות שוות, אז הוא משולש שווה שוקיים )טענה 16( במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות זו לזו )טענות 15 ו- 17 ( סכום זוויות במשולש שווה ל- 081 משולש שווה שוקיים 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 9
חישוב + הצבה )טענות 18 ו- 19 ( חישוב + הצבה )טענות 12 ו- 20 ( שני ישרים הנחתכים ע"י ישר שלישי ויוצרים זוויות חד צדדיות שסכומן הוא 081, מקבילים זה לזה )טענה 21( אם במרובע יש זוג אחד של צלעות נגדיות השוות ומקבילות זו לזו, אז הוא מקבילית )טענות 6 ו- 22 ( )נתון 1( חיבור קטעים הצבה )טענות 24 ו- 25 ( במקבילית זוג צלעות נגדיות שוות זו לזו )טענה 23( )נתון 6( )נתון 5( במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה למחצית היתר )טענות 27,28 ו- 29 ( )טענה 30( מש"ל א' )2( מקבילית MF תיכון לצלע AB משולש AMD ישר זווית מש"ל ב' 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 10
שאלה מספר 6 נתון: 1 ABCD טרפז שווה שוקיים ) ) 2 3 צ"ל: א ב נתון נוסף: 4 5 צ"ל: מצא את β טענה ABCD טרפז שווה שוקיים ו- ו- שווי שוקיים נימוק )נתון 1( )נתונים 2 ו- 3 ( הבסיסים והאלכסונים בטרפז שווה שוקיים יוצרים שני משולשים שווי שוקיים )טענה 1( זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו )טענה 3, נתון 2( זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו )טענה 5,נתון 1( זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו )טענות 3 ו- 5 ( לפי משפט דמיון זז )טענות 5 ו- 6 ( פרופורציה הנובעת מדמיון משולשים )טענה 7( חיבור זוויות הצבה )טענה 5, נתון 3( סכום זוויות במשולש ADC הוא 081 הצבה )טענות 10,11 ונתון 2( משפט הסינוסים במשולש DEC )טענה 12 ונתון 3( שימוש בזהות: ) ( שטחים של משולשים דומים: במשולשים דומים, יחס השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון )טענה 7( במשולש שווה שוקיים, השוקיים שוות זו לזו )טענה 3( ( ( * 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11
הצבה )טענות 13 ו- 15 ( הצבה )טענות 14 ו- 16 ( חישוב )נתון 5( ( ) מש"ל א' () 16 17 18 חישוב )טענות 17 ו- 18 ( ( ) 19 כלל המעבר + חישוב )טענה 19( )נתון 4( חישוב +הצבה )טענות 20 ו- 21 ( שימוש בזהות: שימוש בזהות: 20 21 22 מש"ל ב' משלימה ל- 081 )טענה 22( 23 12
שאלה מספר 7 נתונה הפונקציה: א )1( מציאת האסימפטוטות המקבילות לצירים: אסימפטוטה אנכית: נבדוק תחילה את תחום ההגדרה כעת נבדוק האם )"חור" בגרף(: היא אסימפטוטה אנכית או נקודת אי רציפות סליקה ( ) אין פתרון ולכן אסימפטוטה אנכית אסימפטוטה אופקית: הישר אסימפטוטה אופקית כאשר הישר אסימפטוטה אופקית כאשר האסימפטוטות המקבילות לצירים: 13
)2( מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים: : נקודת חיתוך עם ציר ה- y, ( * : נקודת חיתוך עם ציר ה- x, אין פתרון אין לפונקציה נקודות חיתוך עם ציר ה- x נקודת החיתוך של הפונקציה עם הצירים היא ) ) )3( מציאת תחומי העלייה והירידה של :f(x) הוצאת גורם משותף ) ): [ ] 14
מציאת שיעור ה- y של הנקודה החשודה לקיצון: ( * בניית טבלת ערכים: x y' y תחומי ירידה: או תחומי עלייה: )4( סקיצה של גרף הפונקציה :f(x) ב נגזרת הפונקציה: )1( מציאת אסימפטוטות המקבילות לצירים של גרף הפונקציה :f'(x) אסימפטוטה אנכית: נמצא את תחום ההגדרה: נבדוק האם )"חור" בגרף(: היא אסימפטוטה אנכית או נקודת אי רציפות סליקה 15
( * ( אין פתרון * אסימפטוטה אנכית אסימפטוטה אופקית: ניתן לראות בנגזרת כי החזקה הגבוה ביותר מופיע במכנה:, ולכן אסימפטוטות המקבילות לצירים: )2( תחילה, נמצא את נקודות החיתוך עם הצירים: נקודת חיתוך עם ציר ה- x: נגזרת הפונקציה מתאפסת כאשר ולכן זוהי נקודת החיתוך עם ציר ה- x של,f'(x) כלומר ) ( : נקודות חיתוך עם ציר ה- y, ( * נבחין בטבלה מסעי א' )3( כי נגזרת הפונקציה חיובית בתחום ושלילית בתחום או נגזור את הפונקציה f'(x) בפעם השנייה על מנת למצוא את נקודות הקיצון של :f'(x) ( 16
מציאת שיעור ה- y של הנקודה החשודה לקיצון בפונקציה :f'(x) בניית טבלת ערכים: x y' y : סקיצה של גרף הפונקציה ) ( 17
שאלה מספר 8 נתון: 1 הפונקציה ) ( בתחום 2 מעבירים שני משיקים שמשוואותיהם ו- הוא השטח המוגבל ע"י שני הישרים, ע"י גרף הפונקציה f(x) וע"י ציר ה- x )השטח המקווקו( הוא הסכום של שני שטחים, שכל אחד מהם מוגבל ע"י גרף הפונקציה,f(x) על 3 4 5 ידי אחד הישרים ועל ידי ציר ה- x )סכום השטחים המנוקדים בציור( צ"ל: מצא עבור איזה ערך של a היחס הוא מקסימלי פונקציית המטרה: } { ) ( π נשתמש בזהות: ( ) לפי זהות שלילית: ) ( : על מנת למצוא את השטח, נמצא תחילה את כל השטח S ונחסר ממנו את π ( )) ( יח ר 18
{ פונקציית המטרה: נגזור את פונקציית המטרה ע"י נגזרת המכפלה: } ) ( ( )( ) ( ( ) ( ) ( (a) (a)) ( ) לפי הזהות: ) ( בתחום אינו בתחום 19
שאלה מספר 9 א )1( מציאת תחום ההגדרה של הפונקציה: קיבלנו אי שוויון ריבועי: או תחום ההגדרה הוא: )2( מציאת האסימפטוטת של הפונקציה המקבילות לצירים: אסימפוטוטות אנכיות: ( * הישר אסימפטוטה אנכית ( * הישר אסימפטוטה אנכית אסימפטוטות אופקיות: ( * ( ) ( ) ( ) הישר אסימפטוטה אופקית כאשר 20
( * ( ) ( ) ( ) הישר אסימפטוטה אופקית כאשר אסימפטוטת המקבילות לצירים: ג סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה: ד מציאת הערך של k: נתון כי תחילה, נוכיח שהישר חותך את ציר ה- x בנקודה ) ): בנקודת חיתוך של הישר עם ציר ה- 0=y x, מכאן שלישר יש נקודת חיתוך עם ציר ה- x עוד נתון כי הישר אינו חותך את גרף הפונקציה :f(x) 21
: חישוב של כל השטח המוגבל בין,f(x) ציר ה- x והישרים ו- יח ר, יח נתון נוסף: הישר מחלק את השטח לשני שטחים שווים ולכן: יח ר יח מכך נובע כי שיעורי הנקודה C: ) ) נציב את שיעורי הנקודה C בישר, על מנת למצוא את k: 22